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2.2 ナッシュ均衡

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2.2 ナッシュ均衡
先週の復習 ラーメン屋を A 市でオープン
需要は D(p) = 500 − p/2(人/1 日),賃料が 120(万円/1ヶ月),コスト 400 円/1 杯
このとき逆需要関数は P (q) = となる.
利潤は Π =( − )× となる.
Πp (p) =
Πq (q) =
2.2
ナッシュ均衡
例題 2.3 ラーメン屋をオープンさせた A 市で,賃料が 40(万円/1ヶ月)に下がったので,ライ
バル店の新規参入が起きた.各ラーメン屋はそれぞれ生産量 q1 , q2(人/1 日)をつくる.ラー
メンの値段は,逆需要関数 P (q) = 1000 − 2(q1 + q2 ) で与えられるとする.ラーメン 1 杯の費
用はどちらの店も 400 円.
(1) 店1の利潤 π1 を q1 , q2 の関数 Π1 (q1 , q2 ) として求めよ.
(2) このゲームのナッシュ均衡 (q1∗ , q2∗ ) を求めよ.
(3) 店1がラーメン 1 杯の費用を 400 円から 340 円に下げることに成功したとする.このと
きそれぞれの店の利潤はどのように変化するか.またこの状態で,賃料が 50 万円に上がった
場合何が起こるか.
(1) Π1 (q1 , q2 ) =(価格ーコスト) ×生産量
相手の生産量 q2 が与えられたとき,q1 = _____のとき自分の利潤最大化(_______)
(2) 同様に考えれば(対称性より)q2 = _____のときライバルも最大化
→この 2 つの式が同時に成り立つ→連立方程式の解を_________
価格=____円,利益 (店 1) =_____円,(店 2) =_____円
(3) 新たに店1の利潤を書き直す
Π1 (q1 , q2 ) =
最適反応は?
価格=____円,利益 (店 1) =_____円,(店 2) =_____円
まとめ
寡占市場において.
.
.
企業は相手の行動に応じて自らの行動を最適に選ぶ
相手の行動がわからないときは,行動を予測して最適に対応する
→____理論の確立 (1944 年)
解決法に対する研究・
・
・______ (1950 年)
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ビューティフル・マインド (A Beautiful Mind)
2001 年 12 月 21 日全米初公開
第 54 回英国アカデミー賞主演男優賞(ラッセル・クロウ)受賞
助演女優賞(ジェニファー・コネリー)受賞
プリンストン大学の数学科に在籍している数学の天才ナッシュは、念願のマサチュー
セッツ大の研究所で働くことに。ところが彼のもとに諜報員バーチャーがやってき
て、雑誌に隠されたソ連の暗号解読を依頼する。彼は承諾するが、そのことがやが
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て、彼の精神を侵していくことに…。
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手順をまとめると
1.市場に参加する企業の生産量を用いて,利潤を定式化する
2.利潤最大化の条件から,各企業の最適反応(の条件式)を求める
3.連立方程式を解いて,生産量・均衡価格を求める
練習 2.1 ある市場で n 社の企業が競争を行っているとする.すべての企業の生産技術は等しく,
1単位当たりのコストは 20 とする.各企業の生産量を q1 , q2 , ..., qn とし,市場全体の生産量を
q = q1 + q2 + ... + qn とおいたとき,逆需要関数は P (q) = 100 − q となる.
(1) このゲームのナッシュ均衡を求めよ.
(2) 仮に固定費用が 0(参入コストがかからない)とすると,この市場では何が起こるか?
(3) いま固定費用が 300 かかるとする.このとき企業の数が何社以下であれば,それぞれの
企業が正の利潤をあげられるか?
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